[评论]数学趣题(42): 空车厢

忍不住

总事件数=6^6

两节空车厢的事件数=C(6,4)=15

六名乘客登上4节车厢只有如下两种情况，不可能有其他可能：

1，一节车厢上三名乘客，其他三节车厢各上一名乘客，事件数是：

C(4,1)C(6,3)C(3,1)C(2,1)C(1,1)=480

2，两节车厢各上两名乘客，其他两节车厢各上一名乘客,事件数是：

C(4,2)C(6,2)C(4,2)C(2,1)C(1,1)=1080

六名乘客登上四节车厢的事件数是：480+1080=1560

所求概率=15X1560/6^6=325/648

小菜鸟

persfu

该问题也可用递归算法求得一般解（将“6人上6车空2车”逐步分解为“6人上3车空2车”）：

记：A(n,m,r)为r人登上n节车厢并恰好空m节特定位置的车厢。m >= 0, n >= m+1, r >= n-m 为整数。并记：n中取m的组合数为C[n,m].于是所求概率p(2) = C[n,m]*A(n,m,r)/n^r。

其中：A(n,m,r)满足如下递归公式：
A(n+1,m,r) = <对k=1到r-n+m求和>{C[r，k]*A(n,m,r-k)}

具体到该问题：
A(6,2,6) = <对k=1到6-5+2=3求和>{C[6，k]*A(5,2,6-k)}

不难看出：A(3,2,k) = 1, 这里：k=1，2，3，4，5
于是可以求出：A(6,2,6) = 1560，p = 15*1560/46656 = 23400/46656 = 325/648 ~= 0.501

也可以求出空0,1,3,4,5节特定位置车厢的事件数：
A(6,0,6) = 720=6！
A(6,1,6) = 1800
A(6,3,6) = 540
A(6,4,6) = 62
A(6,5,6) = 1

由于：C[6,0] = 1, C[6,1] = 6, C[6,3] = 20, C[6,4] = 15, C[6,5] = 6
于是：
p(0) = 1*720/6^6 = 720/46656 ~= 0.015
p(1) = 6*1800/6^6 = 10800/46656 ~= 0.232
P(2) = 325/648 ~= 0.501
p(3) = 20*540/6^6 = 10800/46656 ~= 0.232
p(4) = 15*62/6^6 = 930/46656 ~= 0.020
p(5) = 6*1/6^6 = 6/46656 ~= 0.0001

验证：720+10800+23400+10800+930+6 = 46656