[讨论][评论]数学趣题(72): 追赶的轨迹

杨子

小菜鸟

不懂也顶

忍不住

将迪卡尔坐标原点建立在正方形的中心上，假设A在第一象限，B在第二象限。在运动过程中的某一时刻，A到了A'，B到了B', 假设A' 的坐标是(x, y), 那末根据题意, B' 的坐标就应该是(-y,x)。

A点运动轨迹在A' 点的斜率是dy/dx，由于A总是朝着B，那末这个斜率正是B' 到A' 连线的斜率。于是得到A点运动轨迹微分方程：

dy/dx=(x-y)/(-y-x)

将极坐标代入上述方程：

x=rcos$
y=rsin$
x'=r'cos$-rsin$
y'=r'sin$+rcos$

(r'sin$+rcos$)/(r'cos$-rsin$)=(rcos$-rsin$)/(-rsin$-rcos$)

展开并划简，得到：

r' + r = 0

解此一阶常系数线性微分方程得到：

r=ae$   (a<0) ($是e的指数) 即为A点运动轨迹方程。

这个轨迹叫做等角螺线。我的一位朋友求出了任意正多边形等角螺线的轨迹方程。