YIEYIE 发表于 2004-2-23 15:19:49

【经典悖论漫游(上2)】

【经典悖论漫游(上2)】

1-6 书目悖论

一个图书馆编纂了一本书名词典,它列出这个图书馆里所有不列出自己书名的书。那么它列不列出自己的书名?

这个悖论与理发师悖论基本一致。

1-7 苏格拉底悖论

有“西方孔子”之称的雅典人苏格拉底(Socrates,公元前470-前399)是古希腊的大哲学家,曾经与普洛特哥拉斯、哥吉斯等著名诡辩家相对。他建立“定义”以对付诡辩派混淆的修辞,从而勘落了百家的杂说。但是他的道德观念不为希腊人所容,竟在七十岁的时候被当作诡辩杂说的代表。在普洛特哥拉斯被驱逐、书被焚十二年以后,苏格拉底也被处以死刑,但是他的学说得到了柏拉图和亚里斯多德的继承。

苏格拉底有一句名言:“我只知道一件事,那就是什么都不知道。”

这是一个悖论,我们无法从这句话中推论出苏格拉底是否对这件事本身也不知道。古代中国也有一个类似的例子:

1-7 “言尽悖”

这是《庄子·齐物论》里庄子说的。后期墨家反驳道:如果“言尽悖”,庄子的这个言难道就不悖吗?我们常说:

1-7 “世界上没有绝对的真理”

我们不知道这句话本身是不是“绝对的真理”。

1-8 “荒谬的真实”

有字典给悖论下定义,说它是“荒谬的真实”,而这种矛盾修饰本身也是一种“压缩的悖论”。悖论(paradox)来自希腊语“para+dokein”,意思是“多想一想”。

这些例子都说明,在逻辑上它们都无法摆脱概念自指所带来的恶性循环。有没有进一步的解决办法?在下面一节的最后一部份还将继续探讨。

(二)引进无限带来的悖论

《墨子·经说下》中有一句话:“南方有穷,则可尽;无穷,则不可尽。”如果在有限中引进无限,就可能引起悖论。

2-1 阿基里斯悖论

稍晚于毕达哥拉斯的古希腊数学家芝诺(Zeno of Elea),曾经提出过一些著名的悖论,对以后数学、物理概念产生了重要影响,阿基里斯悖论是其中的一个。

阿基里斯(Achilles)是希腊神话中善跑的英雄。芝诺讲:阿基里斯在赛跑中不可能追上起步稍微领先于他的乌龟,因为当他要到达乌龟出发的那一点,乌龟又向前爬动了。阿基里斯和乌龟的距离可以无限地缩小,但永远追不上乌龟。

方励之先生曾经用物理语言描述过这个问题:在阿基里斯悖论中使用了两种不同的时间度量。一般度量方法是:假设阿基里斯与乌龟在开始时的距离为S,速度分别为V1和V2。当时间T=S/(V1-V2)时,阿基里斯就赶上了乌龟。

但是芝诺的测量方法不同:阿基里斯将逐次到达乌龟在前一次的出发点,这个时间为T'。对于任何T',可能无限缩短,但阿基里斯永远在乌龟的后面。关键是这个T'无法度量T=S/(V1-V2)以后的时间。

2-2 二分法悖论

这也是芝诺提出的一个悖论:当一个物体行进一段距离到达D,它必须首先到达距离D的二分之一,然后是四分之一、八分之一、十六分之一、以至可以无穷地划分下去。因此,这个物体永远也到达不了D。

这些结论在实践中不存在,但是在逻辑上无可挑剔。

芝诺甚至认为:“不可能有从一地到另一地的运动,因为如果有这样的运动,就会有‘完善的无限’,而这是不可能的。”如果阿基里斯事实上在T时追上了乌龟,那么,“这是一种不合逻辑的现象,因而决不是真理,而仅仅是一种欺骗”。这就是说感官是不可靠的,没有逻辑可靠。

他认为:“穷尽无限是绝对不可能的”。根据这个运动理论,芝诺还提出了一个类似的运动佯谬:

2-3 “飞矢不动”

在芝诺看来,由于飞箭在其飞行的每个瞬间都有一个瞬时的位置,它在这个位置上和不动没有什么区别。那么,无限个静止位置的总和就等于运动了吗?或者无限重复的静止就是运动?中国古代也有类似的说法,如:

2-4 “飞鸟之景,未尝动也”

这是中国名家惠施的命题,与“飞矢不动”同工异曲。这就是不可抗拒的推理和不可回避的实事相冲突。

德国哲学家尼采在《希腊悲剧时代的哲学》里有一章《可疑的悖论》,称芝诺的悖论为“否定感官的悖论”。尽管阿基里斯在赛跑中追上起步领先的乌龟完全合乎事实,但为什么“不合逻辑”?因为芝诺运用了“无限”这个概念,这是一种逻辑上的假设,而现实世界里是不可能有无限者存在的,这就出现了假设与现实的矛盾。

尼采说道:在这两个悖论里,“无限”被利用来作为化解现实的硝酸。如果无限是决不可能成为完善的,静止决不可能变为运动,那么,真相是箭完全没有飞动,它完全没有移位,没有脱离静止状态,时间并没有流逝。

换句话讲,在这个所谓的、终究只是冒牌的现实中,既没有时间、空间,也没有运动。最后,连箭本身也是一个虚象,因为它来自多样性,来自由感官唤起的非一的幻象。下面是尼采的分析:

假定箭拥有一种存在,那么,它就是不动的、非时间的、非造而有的、固定的、永恒的。这是一个荒谬的观念!

假定运动是真正的实在,那么,就不存在静止。因而,箭没有位置、没有空间。又是一个荒谬的观点!

假定时间是实在的,那么,它就不可能被无限地分割。箭飞行所需要的时间必定由一个有限数目的瞬间组成,其中每个瞬间都必定是一个原子。仍然是一个荒谬的观念!

尼采得出这样的结论:我们的一切观念,只要其经验所与的、汲自这个直观世界的内容被当作“永恒真理”,就会陷入矛盾。如果有绝对运动,就不会有空间;如果有绝对空间,就不会有运动;如果有绝对存在,就不会有多样性;如果有绝对的多样性,就不会有统一性。

事实上,这两个悖论中提到的这个“动与不动”的对立统一,今天都已经得到了完美的解决,这就是极限理论的诞生。牛顿在运动学研究时,初创微积分,但由于没有巩固的理论基础,出现了历史上的“第二次数学危机”。十九世纪初,法国科学家以柯西为首建立了极限理论,后来又经过德国数学家维尔斯特拉斯进一步的严格化,使极限理论成为微积分的坚定基础,运动问题也得到了合理的解释。

可以想见,在微积分和极限理论发明或被接受以前,人们很难解释这一运动佯谬。感官不同于思维,当希腊人用概念来判决现实的时候,如果逻辑与现实发生矛盾,芝诺指责感官为“欺骗”。当思维找不到合理解释的时候,直观的形式、象征或比喻都无济于事。尼采的分析虽然详细、精辟,但他无法把它们综合起来。

2-5 “一尺之捶,日取其半,万世不竭”

这是《庄子·天下》中惠施的一句名言。二千多年前中国古人同样运用了无限的概念。

战国名家宋国人惠施(约公元前370-前310)曾任梁国的宰相,论辩奇才,是庄子的朋友,和公孙龙并列为名家的代表人物。他的著作多已亡佚,只能从其他诸家的论述中看到他的言行片段。

惠施的学说强调万物的共相,因而事物之间的差异只是一种相对的概念,现存与惠施有关的奇怪命题,例如,“山与泽平”、“卵有毛”、“鸡三足”、“犬可以为牛”、“火不热”、“矩不方”、“白狗黑”、“孤驹未尝有母”等,都可以说是悖论,但是大部份没有留下具体的争辩过程。惠施的悖论在西方也很有影响。

毛泽东从辩证法的角度基本接受惠施无限可分的观点。一九六四年八月十八日,他同哲学工作者谈话时说:“列宁讲过,凡事可分。举原子为例,不但原子可分,电子也可分。”又说:“电子本身到现在还没有分裂,总有一天能分裂的。‘一尺之捶,日取其半,万世不竭’,这是个真理。不信,就试试看。如果有竭就没有科学了。”

有人注意到,毛泽东十分偏爱这句话,如五十年代中期对家钱三强,一九六四年八月同周培源、于光远,一九七三年、一九七四年接见杨振宁、李政道,等等,都提到这句话。

2-6 “1厘米线段内的点与太平洋面上的点一样多”

多少哲学家、数学家都唯恐陷入悖论而退避三舍。二十三岁获博士学位的德国数学家康托尔(1845-1918)六年以后向无穷宣战。他成功地证明了:一条直线上的点能够和一个平面上的点一一对应,也能和空间中的点一一对应。由于无限,1厘米长的线段内的点,与太平洋面上的点,以及整个地球内部的点都“一样多”。

然而,康托尔的“无穷集合”与传统的数学观念发生冲突,遭到谩骂。直到一八九七年第一次国际数学家会议,他的成果才得到承认,几乎全部数学都以集合论为基础。罗素称赞他的工作“可能是这个时代所能夸耀的最巨大的工作。”

同时,集合论中也出现了一些自相矛盾的现象,尤其是罗素的理发师悖论,以极为简明的形式震撼了数学的基础,这就是“第三次数学危机”。此后,数学家们进行了不懈地探讨。

例如,一九九六年英国剑桥大学出版社出版了亨迪卡的《数学原理的重新考察》,这本书以罗素的《数学原理》(1903)为蓝本的,试图完善逻辑和数学基础。它主要阐述了亨迪卡和桑朵新创的IF(Independence-Friendly First-Order Logic)逻辑及其可能产生的影响。它挑战了许多公认的观念,如公理集合论作为数学理论的适当框架,对说谎者悖论也作了进一步的探讨。它是否将引
起一场逻辑和数学基础的革命?我们还将拭目以待。
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